Chuyển đến nội dung chính

7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng toán áp dụng

là kiến thức quan trọng trong chương trình học toán, các bạn trẻ được tiếp xúc đầu tiên ngay từ khi bắt đầu lên lớp 8 và khi lên các lớp cao hơn thì bảy đẳng thức đáng nhớ được áp dụng trong các bài toán nâng cao nhiều hơn, và theo các bạn suốt quãng đường học tập. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ giống như cái tên gọ của nó, "đáng nhớ" ở đây và thể hiện vai trò của nó trong việc tiếp thu kiến thức của các bạn trẻ, hằng đẳng thức là công cụ đem lại nhiều lợi ích khi áp dụng vào môn toán ở chương trình học tập.

7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và Phải nhớ
7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và Phải nhớ

Công thức về 7 hằng đẳng thức

1. Bình phương của một tổng

(A B)2 = A2  2AB B2

Giải thích: Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai

* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu

a) x2 2x 1 = (x)2 2.(x).(1) (1)2 = (x 1)2

b) 9x2 y2 6xy = 9x2  6xy y2 = (3x)2 2.(3x).(y) (y)2 = (3x y)2

2. Bình phương của một hiệu

  (A – B)2 = A2 – 2AB B2

Giải thích: Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.

*  Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu

c) 25a2 4b2 – 20ab = 25a2 – 20ab  4b2 = (5a)2 – 2.(5a).(2b) (2b)2 = (5a 2b)2

3. Hiệu hai bình phương

  A2 – B2 = (A – B)(A B)

Giải thích: Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 – 9

* Lời giải:

– Ta có: 4x2 – 9 = (2x)2 – (3)2 = (2x-3)(2x 3)

4. Lập phương của một tổng

 (A B)3 = A3  3A2B 3AB2  B3

Giải thích: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng với lập phương số thứ hai.

*  Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính

a) (2x2 3y)3 =(2x2)3 3(2x2)2.(3y) 3(2x2).(3y)2 (3y)3 = 8x6 36x4y 54x2y2 27y3

5. Lập phương của một hiệu

(A – B)3 = A3 – 3A2B 3AB2 – B3

Giải thích: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai

*  Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính

6. Tổng hai lập phương

  A3  B3 = (A B)(A2 – AB B2)

Giải thích: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 64

x3 64 = x3 43 = (x 4)(x2-4x 42) = (x 4)(x2-4x 16)

7. Hiệu hai lập phương

  A3 – B3 = (A – B)(A2  AB B2)

Giải thích: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8x3 – y3

 8x3 – y3 = (2x)3 – y3 = (2x-y)[(2x)2 – (2x).y y2] = (2x-y)(4x2 2xy y2)

* Chú ý: a b= -(-a-b) ; (a b)2= (-a-b)2  ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a b)3

Các dạng bài toán áp dụng 7 hằng đẳng thức

Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x 4 tại x = -1

* Lời giải.

– Ta có : A = x2 – 4x 4 =  x2 – 2.x.2 22 = (x – 2)2

– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

 Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2  (x 1)(3 – x)

* Lời giải.

– Ta có: A =(x – 1)2  (x 1)(3 – x) = x2 – 2x 1 – x2  3x 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x 5

* Lời giải:

– Ta có : A = x2 – 2x 5 = (x2 – 2x 1) 4 = (x – 1) 4

– Vì (x – 1)≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1) 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

* Lời giải:

– Ta có : A = 4x – x= 4 – 4 4x – x= 4 – (4 – 4x x2) = 4 – (x2 – 4x  4) = 4 – (x – 2)2

– Vì (x – 2)≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x

⇔  4 – (x – 2)≤ 4 [cộng 2 vế với 4]

⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau

 Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2  b2)

* Lời giải:

– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

– Ta có: VT = (a b)3 – (a – b)3

= (a3  3a2b 3ab2  b3) – (a3 – 3a2b 3ab2 – b3)

= a3  3a2b 3ab2  b3 – a3  3a2b – 3ab2  b3

= 6a2b 2b3

= 2b(3a2  b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy : (a b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2  b2)

• Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

– Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Ví dụ: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2

* Lời giải: 

– Ta có: B = (2-x)(x-4) – 1 = 2x – 8 – x2 4x – 2 = -x2 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x 9) – 1 = -(x-3)2 – 1

– Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x,

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

 Ví dụ 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x 4 – y2

* Lời giải:

– Ta có : A = x2 – 4x 4 – y2 [để ý x2 – 4x 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x2 – 4x 4) – y2  [nhóm hạng tử]

= (x – 2)– y2   [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2]

= (x – 2 – y )( x – 2 y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 y)

 Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2  4x

= x(x2 – 4x 4)

= x(x2 – 2.2x 22)

= x(x – 2)2

 Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x 2y

= (x 2– x) (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

 Ví dụ 4:  Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x 6

= x2 – 2x – 3x  6

= x(x – 2) – 3(x  – 2)

= (x – 2)(x – 3)

• Dạng 8: Tìm giá trị của x

Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x 12 = 0

* Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Video học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Kết

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà mỗi người học toán cần phải nắm vững. Những đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông. khuyên bạn nên học thuộc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.

Nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Tuyển tập 301 Thơ thả thính crush, 1001 câu “thả thính” siêu đáng yêu và ngọt ngào khiến ai cũng phải ...

1001 câu "thả thính" siêu đáng yêu và ngọt ngào khiến ai cũng phải ...Xem thêm : những câu thơ thả thính cực hay / thơ lục bát thả thính hay / những câu thả thính hay cho nam / Thật nhiều những stt hay về tình yêu đẹp, những stt về tình yêu đẹp dành cho những người chưa yêu, sắp yêu và đã yêu. Bạn có thể dùng những stt hay này thay cho lời mình muốn nói khi muốn gửi đến người ấy. Tình yêu là gia vị không thể thiếu để điểm tô cho cuộc sống này thêm màu thêm vị thêm hương và thêm sắc " Có gì đẹp trên đời hơn thế – Người với người sống để yêu nhau". Tình yêu là thứ tình cảm đẹp nhất trong cuộc đời mỗi người nên hãy yêu và trân trọng người mà bạn yêu thương khi còn có thể. Tình yêu nào đâu cần cao sang, chỉ đơn giản là ngồi tựa lưng vào nhau, cùng nắm tay nhau đi trong buổi chiều đầy gió. Câu nói hay về tình yêu hạnh phúc sẽ giúp nhiều cặp đôi đến bên nhau, hiểu nhau, tin tưởng nhau và yêu nhau nhiều hơn. Với những ai đang hiểu lầm nhau hãy vì nhau và…

509+ Những câu thơ thả thính ngắn, 88+ Stt thả thính ngắn gọn cho con trai & con gái bá đạo hay nhất ...

88+ Stt thả thính ngắn gọn cho con trai & con gái bá đạo hay nhất ...Xem thêm : thơ thả thính 2 câu / cap thả thính lầy / thơ vần thả thính / - Cà phê - thức uống yêu thích của thế giới văn minh.

______________- Tôi không ấn tượng với công nghệ cho tới khi tôi có thể tải về thức ăn.

______________- Tình yêu quan trọng thật đấy nhưng đồ ăn mới là thứ nuôi sống con người :v

______________- Ép dầu ép mỡ... ai lỡ ép ăn
______________- Thóc đâu mà đãi gà rừng.
Cơm đâu mà đãi người dưng bây giờ
______________- Ngoài gia đình thì đối với chế
- Tiền là nhất, đồ ăn là nhì... Vì k có tiền sẽ k có đồ ăn.
______________- Miếng ăn là miếng tồi tàn, mất ăn 1 miếng lộn gan lên trên đầu. Ăn đi mấy đứa ơi!
______________- Ngại là hại bao tử
______________- Khi tôi uống cà phê, các ý tưởng xuất hiện như đi diễu hành trong quân đội.
______________- Tình yêu chỉ như hạt cát... vì đồ ăn đã lấn át tình yêu.
______________- Tham ăn không phải là xấu Tham ăn là để thể hiện sự ủng hộ người nấu mà thôi...
_________…

Tuyển tập 162 thả thính thơ crush, 18 câu thả thính 'chất hơn cả ngôn tình' trong văn học Việt Nam và ...

18 câu thả thính 'chất hơn cả ngôn tình' trong văn học Việt Nam và ...Xem thêm : những câu thơ thả thính hay ngắn gọn / thả thính công chúa / những câu thơ thả thính hay ngắn / - Đầu bạc, răng... vàng

______________- Răng tung tăng đi trước, môi lã lướt theo sau.

______________- Gần mực thì dơ, gần đèn thì lóa

______________- Người tốt thì nhiều, mà người biết điều thì ít
______________- Nhiễu điều phủ lấy giá gương
Mai sau có lúc ngoài đường đập nhau
______________- Năng nhặt chật nhà
______________- Có cái chết hóa thành bất tử và có cái chết hóa thành … chết thử.
______________- Một tay làm chẳng nên non
Bốn tay chụm lại nên sòng tiến lên
______________- Ân quả nhớ...nhả hột ra
______________- Dạy người ông nói rõ hay
Khi làm ông lại làm ngay điều xàm
______________- Một nụ cười bằng mười thang thuốc xổ
______________- Nhà sạch thì mát, bát sạch không phải rửa
______________- Không có việc gì khó, chỉ sợ tiền không nhiều, đào núi và lấp biển, không làm được thì thuê
______________- Đ…